Jego kariera, tak jak kariery większości
kierowców F1 zaczęła się od kartingu. Największym sukcesem było zajęcie 3
pozycji w klasyfikacji generalnej Mistrzostw Europy kategorii KF3 oraz drugiej pozycji w Międzynarodowych
Mistrzostwach WSK w 2009 roku.
Kolejnym krokiem, były starty w
Europejskiej Formule BMW które rozpoczął w 2010 roku jednak bez większych
sukcesów zajmując 10 lokatę w generalnej klasyfikacji i zaliczając jedno podium
(drugie miejsce na torze Monza). W azjatyckim odpowiedniku tej serii w ośmiu
wyścigach 5 razy stawał na podium, wygrywając raz w Malezji. Wziął też udział w
zimowej edycji Brytyjskiej Formuły Renault dwa razy stanął na podium, i zaliczył jedno
poleposition, pozwoliło mu to zająć czwarte miejsce w generalnej klasyfikacji.
W 2011 roku zaliczył udział w serii Toyota Racing. Wziął
udział w Europejskim Pucharze Formuły
Renault 2.0 co pozwolił mu zostać etatowym zawodnikiem Koiaren Motorsport.
W Północnoeuropejskim cyklu Formuły Renault. (sześciokrotnie stawał na
podium, dwa razy odniósł zwycięstwo w Belgii oraz w Niemczech). Następnym
etapem na drodze młodego Rosjanina do F1 w 2012 roku była Formuła Renault NEC 2.0 w której po zakończeniu
sezonu świętował wicemistrzostwo. Później Rosjanin wybrał Alpejską Formułę
Renault 2.0, w której zdobył tytuł mistrza świata, poprzedzając to siedmioma
zwycięstwami.
W 2012 roku Daniił Kwiat uzyskał
tytuł kierowcy wyścigowego roku, przyznany przez Rosyjska
Federację
Samochodową.
W 2013 roku, Kwiat gościnnie
startował w wyścigach formuły 3 w zespole Carlin odnosząc jedno zwycięstwo i
siedmiokrotnie stając na podium, jednak był nie klasyfikowany, natomiast o
punkty walczył w serii GP3 jeżdżąc w barwach zespołu Arden International. Kwiat mając na koncie 168 punktów zwyciężył w generalnej
klasyfikacji serii GP3 5 razy w sezonie
stawał na podium.
